В работе предложен способ вычисления площади плоской области по фотографии, основанный на применение методов математического анализа. Для вычисления площади применяется криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру, ограничивающему рассматриваемую область. Задание границы в виде сплайна Безье сводит вычисление криволинейного интеграла к вычислению нескольких определенных интегралов от базисных полиномов Бернштейна. Для интегралов от базисных полиномов Берштейна получен явный вид. Для сплайна Безье третьего порядка выведена формула для вычисления площади области через координаты опорных точек кривых Безье.

Ключевые слова: кубический сплайн, базисные полиномы Берштейна. кривая Безье, сплайн Безье, формула Грина, бета-функция, гамма-функция

1.1.1 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ , 1.2.2 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

В работе рассматривается модельная задача совместного термического и диффузионного процесса в кремнии. Математической моделью этого процесса является начально-краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. В этой системе одно уравнение описывает процесс распространения тепла в кремнии, а другое - процесс диффузии примеси в нем. При этом уравнения не являются независимыми так, как коэффициент диффузии зависит от температуры. Для каждого уравнения в этой системе поставлены соответствующие начально-краевые условия. Для поиска приближенного решения возникшей задачи используется неявная разностная схема и классический метод прогонки. В работе представлено описание численного алгоритма и точные расчетные формулы для решения дискретизированной параболической задачи.

Ключевые слова: модель термодиффузионного процесса, численное моделирование, метод прогонки, неявная разностная схема

1.2.2 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

В работе рассмотрена математическая модель процесса ионно-лучевого травления. Рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение ионно-лучевого травления первого порядка. Установлено, что модельное уравнение ионно-лучевого травления может быть сведено к однородному уравнению Монжа-Ампера. Для этого уравнения предъявлены некоторые классы точных решений. Методом функционального разделения переменных получено степенное решение, которое зависит лишь от набора констант и не содержит произвольных функций. Так же найдены решения, которые линейно зависит от произвольных функции от координатной переменной и от временной переменной. Сформулированы предположения и явные условия как из семейств решений уравнения Монжа-Ампера выделить решения, соответствующие рассматриваемому модельному процессу. Указан класс нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, которые также могут быть сведены к уравнению Монжа-Ампера. Установлены ограничения на скорость травления, которые позволяют свести уравнение ионно-лучевого травления к линейному гиперболическому уравнению второго порядка, для которого методом разделения переменных удается получить решение в виде ряда Фурье.

Ключевые слова: уравнение ионно-лучевого травления, уравнение Монжа-Ампера, модельные решения, точные решения

1.1.2 - Дифференциальные уравнения и математическая физика , 1.2.2 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ